martedì 23 febbraio 2010
Problema 3.3: costruzione senza matite
Problema 3.2*: il gioco dei sacchetti
Ci sono due sacchetti, rispettivamente con 12 e 7 gettoni. Due giocatori, a turno, buttano via i gettoni di un sacchetto a loro scelta e ripartiscono i gettoni dell’altro nei due sacchetti. Perde chi si trova nella situazione in cui ciascuno dei due sacchetti contiene 1 gettone (e quindi non può proseguire). C’è una strategia vincente per il giocatore che fa la prima mossa?
[Suggerimento. Attenzione ai numeri pari e ai numeri dispari. Una posizione è sicura se entrambi i sacchetti contengono un numero ……. di gettoni. Infatti, se lasciamo una posizione di questo tipo, il nostro avversario dovrà ridarci un sacchetto con un numero …… di gettoni e l’altro con un numero …… di gettoni. Noi, allora, …]
[Suggerimento. Attenzione ai numeri pari e ai numeri dispari. Una posizione è sicura se entrambi i sacchetti contengono un numero ……. di gettoni. Infatti, se lasciamo una posizione di questo tipo, il nostro avversario dovrà ridarci un sacchetto con un numero …… di gettoni e l’altro con un numero …… di gettoni. Noi, allora, …]
Problema 3.1: l’età dei tre figli
Due amici, amanti dei giochi matematici, si incontrano dopo diversi anni e cominciano a conversare finché il discorso va a finire sui figli.
A- “Che età hanno i tuoi tre figli?”
B- “Il prodotto delle loro età è uguale a 36”
A- “Dammi qualche altra informazione, questa non mi basta!”
B- “Hai ragione!La somma delle loro tre età è uguale al numero civico di quella casa”
A- “Non mi è sufficiente per dirti le loro età”
B- “Ti posso dire che il più piccolo ha gli occhi azzurri”
A-“Complimenti!”
Qual è l’età dei tre figli?
A- “Che età hanno i tuoi tre figli?”
B- “Il prodotto delle loro età è uguale a 36”
A- “Dammi qualche altra informazione, questa non mi basta!”
B- “Hai ragione!La somma delle loro tre età è uguale al numero civico di quella casa”
A- “Non mi è sufficiente per dirti le loro età”
B- “Ti posso dire che il più piccolo ha gli occhi azzurri”
A-“Complimenti!”
Qual è l’età dei tre figli?
Problema 2.3*: gioco dei 21 stecchini
Ci sono 21 stecchini sul tavolo. A turno, ciascuno dei due giocatori toglie da 1 a 5 stecchini. Chi prende l’ultimo stecchino perde. C’è una strategia vincente per il giocatore che fa la prima mossa?
[Suggerimento. Occorre trovare quali sono le “posizioni sicure”, cioè le posizioni che assicurano la vittoria a chi le lascia all’avversario. Le posizioni sicure devono essere tali che:
• se la posizione è sicura, qualunque mossa la rende non sicura,
• se la posizione non è sicura, esiste una mossa che la rende sicura. ]
[Suggerimento. Occorre trovare quali sono le “posizioni sicure”, cioè le posizioni che assicurano la vittoria a chi le lascia all’avversario. Le posizioni sicure devono essere tali che:
• se la posizione è sicura, qualunque mossa la rende non sicura,
• se la posizione non è sicura, esiste una mossa che la rende sicura. ]
Problema 2.2: la foglia magica
Esiste una foglia che in un giorno cresce tanto da diventare il doppio del giorno precedente. Posta su un lago la foglia riesce a ricoprirlo in 30 giorni. Dopo quanti giorni ricopre la metà del lago?
Problema 2.1: i quattro triangoli
Avendo a disposizione sei fiammiferi, costruire quattro triangoli equilateri aventi per lato un intero fiammifero.
COSTRUZIONI GEOMETRICHE 7: dividere un segmento in parti uguali
Teorema di Talete: un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali stacca su queste coppie di segmenti direttamente proporzionali.
Costruzione geometrica
Per dividere un segmento assegnato in n parti uguali, si procede come segue.
Scegliamo di dividere il segmento assegnato AB in 5 parti uguali.
- disegniamo il segmento AB;
- sulla semiretta di origine A segnamo un punto qualsiasi: chiamiamolo 1;
- riportiamo la lunghezza del segmento A-1 con lo strumento compasso facendo centro nel punto 1. Si individua così il punto 2;
- iteriamo il procedimento in modo da individuare sulla semiretta i punti 3, 4, 5 tutti equidistanti tra loro;
- tracciamo ora il segmento che unisce il punto 5 con l'estremo B;
- tracciamo le rette parallele al segmento 5-B passanti per i punti 4, 3, 2, 1.
Il segmento AB risulta in tal modo suddiviso in 5 segmenti uguali.
Costruzione geometrica
Per dividere un segmento assegnato in n parti uguali, si procede come segue.
Scegliamo di dividere il segmento assegnato AB in 5 parti uguali.
- disegniamo il segmento AB;
- sulla semiretta di origine A segnamo un punto qualsiasi: chiamiamolo 1;
- riportiamo la lunghezza del segmento A-1 con lo strumento compasso facendo centro nel punto 1. Si individua così il punto 2;
- iteriamo il procedimento in modo da individuare sulla semiretta i punti 3, 4, 5 tutti equidistanti tra loro;
- tracciamo ora il segmento che unisce il punto 5 con l'estremo B;
- tracciamo le rette parallele al segmento 5-B passanti per i punti 4, 3, 2, 1.
Il segmento AB risulta in tal modo suddiviso in 5 segmenti uguali.
COSTRUZIONI GEOMETRICHE 6: teorema di TALETE
Teorema di Talete: un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali stacca su queste coppie di segmenti direttamente proporzionali.
Costruzione geometrica
- disegniamo una retta r1 passante per un punto qualsiasi del piano
- tracciamo due qualsiasi rette parallele ad r1. Chiamiamole r2 ed r3
- l'insieme delle tre rette costituisce un fascio di rette parallele
- disegniamo ora due rette s ed s' trasversali (ovvero che tagliano il fascio di rette)
- detti P1, P2 e P3 i punti di intersezione di s con il fascio, e P'1, P'2 e P'3 i punti di intersezione di s',
- determiniamo sulle due rette le coppie di segmenti P1P2 , P2P3 e P'1P'2 , P'2P'3.
Come è possibile verificare:
- se variamo l'inclinazione di una retta, s o s', il rapporto tra i segmenti staccati su quella retta rimane costante: le grandezze dei due segmenti sono direttamente proporzionali
- i rapporti tra le due coppie di segmenti rimangono uguali tra loro al variare delle posizioni delle rette. Possiamo allora scrivere la proporzione:
P1P2 : P2P3 = P'1P'2 : P'2P'3
Costruzione geometrica
- disegniamo una retta r1 passante per un punto qualsiasi del piano
- tracciamo due qualsiasi rette parallele ad r1. Chiamiamole r2 ed r3
- l'insieme delle tre rette costituisce un fascio di rette parallele
- disegniamo ora due rette s ed s' trasversali (ovvero che tagliano il fascio di rette)
- detti P1, P2 e P3 i punti di intersezione di s con il fascio, e P'1, P'2 e P'3 i punti di intersezione di s',
- determiniamo sulle due rette le coppie di segmenti P1P2 , P2P3 e P'1P'2 , P'2P'3.
Come è possibile verificare:
- se variamo l'inclinazione di una retta, s o s', il rapporto tra i segmenti staccati su quella retta rimane costante: le grandezze dei due segmenti sono direttamente proporzionali
- i rapporti tra le due coppie di segmenti rimangono uguali tra loro al variare delle posizioni delle rette. Possiamo allora scrivere la proporzione:
P1P2 : P2P3 = P'1P'2 : P'2P'3
COSTRUZIONI GEOMETRICHE 5: rette perpendicolari e parallele
Problema 1: costruire la perpendicolare ad una retta data per un punto ad essa esterno.
Svolgimento
Per effettuare la costruzione esegui i seguenti passi:
- traccia una retta r ed un punto P del piano non appartenente ad r,
- con centro nel punto P traccia la circonferenza di raggio a piacere purché intersechi la retta r,
- su questa retta segna le due intersezioni M e N,
- traccia la circonferenza con centro M e raggio MP, e la circonferenza di centro N e raggio NP,
- segna il punto Q in cui si intersecano, (nota che Q è il simmetrico di P rispetto all'asse r),
- taccia la retta passante per P e per Q. Tale retta risulta perpendicolare ad r e passante per P.
Attività: prova a costruire la perpendicolare nel caso in cui P appartiene ad r.
Problema 2: costruire la parallela ad una retta per un punto ad essa esterno.
Svolgimento
- traccia una retta r ed un punto P non appartenente ad r,
- segna a tuo piacere un punto A sulla retta r,
- con centro nel punto P traccia la circonferenza di raggio PA,
- segna il punto B intersezione della circonferenza con r,
- con centro in B traccia la circonferenza di raggio BA,
- indica con C il punto di intersezione tra le due circonferenze; nota che i segmenti PA, PC, AB, BC sono tra loro uguali,
- la retta passante per P e C è parallela ad r.
Svolgimento
Per effettuare la costruzione esegui i seguenti passi:
- traccia una retta r ed un punto P del piano non appartenente ad r,
- con centro nel punto P traccia la circonferenza di raggio a piacere purché intersechi la retta r,
- su questa retta segna le due intersezioni M e N,
- traccia la circonferenza con centro M e raggio MP, e la circonferenza di centro N e raggio NP,
- segna il punto Q in cui si intersecano, (nota che Q è il simmetrico di P rispetto all'asse r),
- taccia la retta passante per P e per Q. Tale retta risulta perpendicolare ad r e passante per P.
Attività: prova a costruire la perpendicolare nel caso in cui P appartiene ad r.
Problema 2: costruire la parallela ad una retta per un punto ad essa esterno.
Svolgimento
- traccia una retta r ed un punto P non appartenente ad r,
- segna a tuo piacere un punto A sulla retta r,
- con centro nel punto P traccia la circonferenza di raggio PA,
- segna il punto B intersezione della circonferenza con r,
- con centro in B traccia la circonferenza di raggio BA,
- indica con C il punto di intersezione tra le due circonferenze; nota che i segmenti PA, PC, AB, BC sono tra loro uguali,
- la retta passante per P e C è parallela ad r.
COSTRUZIONI GEOMETRICHE 4: bisettrice di un angolo
Definizione: la bisettrice di un angolo è la semiretta con origine nel vertice e che divide l'angolo in due parti uguali.
Svolgimento
Per costruire la bisettrice di un angolo utilizziamo la proprietà di cui godono tutti e solo i suoi punti, cioè di essere equidistanti dai lati dell'angolo.
Per effettuare la costruzione si inizia col tracciare due semirette aventi la stessa origine V. Su una di queste si sceglie un punto qualsiasi A.
Si riporta con il compasso, puntato in V, la misura del segmento AV sull'altro lato dell'angolo in modo tale che VA = VB. Dal punto B si tracciano la retta perpendicolare al lato VB dell'angolo, e la perpendicolare per A alla semiretta VA. L'incontro di tali perpendicolari individua il punto K. Poiché due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente uguali l'ipotenusa ed un cateto, ne segue che AK = BK. Allora K è equidistante dai due lati dell'angolo. Si traccia infine la semiretta che unisce i punti K e V : tale semiretta è la bisettrice. Questa contiene tutti e soli i punti equidistanti dai lati dell'angolo.
Definizione: le tre bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in uno stesso punto chiamato incentro.
Svolgimento
Per costruire la bisettrice di un angolo utilizziamo la proprietà di cui godono tutti e solo i suoi punti, cioè di essere equidistanti dai lati dell'angolo.
Per effettuare la costruzione si inizia col tracciare due semirette aventi la stessa origine V. Su una di queste si sceglie un punto qualsiasi A.
Si riporta con il compasso, puntato in V, la misura del segmento AV sull'altro lato dell'angolo in modo tale che VA = VB. Dal punto B si tracciano la retta perpendicolare al lato VB dell'angolo, e la perpendicolare per A alla semiretta VA. L'incontro di tali perpendicolari individua il punto K. Poiché due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente uguali l'ipotenusa ed un cateto, ne segue che AK = BK. Allora K è equidistante dai due lati dell'angolo. Si traccia infine la semiretta che unisce i punti K e V : tale semiretta è la bisettrice. Questa contiene tutti e soli i punti equidistanti dai lati dell'angolo.
Definizione: le tre bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in uno stesso punto chiamato incentro.
COSTRUZIONI GEOMETRICHE 3: trasporto di un angolo
Problema: costruire un angolo uguale ad un angolo dato e avente per lato una prefissata semiretta (trasporto di una angolo).
Svolgimento
Supponiamo che siano stati assegnati un angolo AOB ed un segmento MN appartenente alla semiretta di origine M.
Per riportare l'angolo dato sulla semiretta esegui i seguenti passi:
1) Disegna un segmento di estremi A e B
2) Disegna un segmento più lungo di AB con estremi M ed N
3) Traccia una circonferenza di centro O e raggio OA; su questa circonferenza prendi un punto B
4) Traccia il segmento OB : l’angolo da trasportare è costruito!
5) Traccia una circonferenza di centro A e raggio OA,
6) Con centro in M traccia una circonferenza di raggio OA (usa lo strumento “Compasso”), chiama Q l'intersezione della circonferenza con il segmento MN
7) Traccia con centro in A una circonferenza di raggio AB,
8) Rripeti costruendo la circonferenza di centro Q e raggio AB (sempre usando lo strumento “Compasso”)
9) Le due circonferenze si incontrano in due punti, chiama R uno di questi
10) Unisci con un segmento i punti M ed R.
11) L'angolo NMR è l'angolo riportato uguale all'angolo dato.
Svolgimento
Supponiamo che siano stati assegnati un angolo AOB ed un segmento MN appartenente alla semiretta di origine M.
Per riportare l'angolo dato sulla semiretta esegui i seguenti passi:
1) Disegna un segmento di estremi A e B
2) Disegna un segmento più lungo di AB con estremi M ed N
3) Traccia una circonferenza di centro O e raggio OA; su questa circonferenza prendi un punto B
4) Traccia il segmento OB : l’angolo da trasportare è costruito!
5) Traccia una circonferenza di centro A e raggio OA,
6) Con centro in M traccia una circonferenza di raggio OA (usa lo strumento “Compasso”), chiama Q l'intersezione della circonferenza con il segmento MN
7) Traccia con centro in A una circonferenza di raggio AB,
8) Rripeti costruendo la circonferenza di centro Q e raggio AB (sempre usando lo strumento “Compasso”)
9) Le due circonferenze si incontrano in due punti, chiama R uno di questi
10) Unisci con un segmento i punti M ed R.
11) L'angolo NMR è l'angolo riportato uguale all'angolo dato.
COSTRUZIONI GEOMETRICHE 2: asse di un segmento
Definizione: l'asse di un segmento è la perpendicolare al segmento, condotta dal suo punto medio.
Teorema: l'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento.
Infatti per costruire l'asse di un segmento si traccia una circonferenza con il centro in un estremo del segmento, e che abbia il raggio di una misura qualsiasi purché più grande della metà del segmento. Poi, mantenendo la stessa apertura del compasso, si ripete la costruzione centrando una circonferenza nell'altro estremo. La retta che unisce i punti d'intersezione delle due circonferenze è l'asse del segmento.
Nota che tale retta passa per il punto medio del segmento. Infatti tale punto gode anch'esso della proprietà di appartenere al segmento e di essere equidistante dagli estremi del segmento.
Da tale costruzione puoi osservare che l'asse di un segmento passa per il punto medio ed è perpendicolare al segmento.
Gli assi di un triangolo si incontrano in uno stesso punto: il circocentro.
Teorema: l'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento.
Infatti per costruire l'asse di un segmento si traccia una circonferenza con il centro in un estremo del segmento, e che abbia il raggio di una misura qualsiasi purché più grande della metà del segmento. Poi, mantenendo la stessa apertura del compasso, si ripete la costruzione centrando una circonferenza nell'altro estremo. La retta che unisce i punti d'intersezione delle due circonferenze è l'asse del segmento.
Nota che tale retta passa per il punto medio del segmento. Infatti tale punto gode anch'esso della proprietà di appartenere al segmento e di essere equidistante dagli estremi del segmento.
Da tale costruzione puoi osservare che l'asse di un segmento passa per il punto medio ed è perpendicolare al segmento.
Gli assi di un triangolo si incontrano in uno stesso punto: il circocentro.
martedì 16 febbraio 2010
Anche i matematici hanno un cuore
Cari studenti,
in occasione della festa di San Valentino, volevo farvi vedere che anche i matematici hanno un cuore...
in occasione della festa di San Valentino, volevo farvi vedere che anche i matematici hanno un cuore...
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